วิธีการจำลองระบบควบคุมโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์?

การสร้างแบบจำลองระบบควบคุมโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์เป็นวิธีพื้นฐานและทรงพลังในด้านวิศวกรรมควบคุม ในฐานะผู้จัดหาระบบควบคุมฉันได้เห็นความสำคัญของเทคนิคนี้โดยตรงในการออกแบบและวิเคราะห์ระบบควบคุมต่างๆ ในบล็อกนี้ฉันจะแบ่งปันข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับวิธีการสร้างแบบจำลองระบบควบคุมโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์พร้อมกับตัวอย่างและการพิจารณาที่เป็นประโยชน์

ทำความเข้าใจพื้นฐานของสมการเชิงอนุพันธ์ในระบบควบคุม

สมการเชิงอนุพันธ์เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้เพื่ออธิบายความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชั่นและอนุพันธ์ ในระบบควบคุมสมการเหล่านี้ใช้เพื่อแสดงพฤติกรรมแบบไดนามิกของระบบทางกายภาพ โดยการกำหนดระบบควบคุมเป็นชุดของสมการเชิงอนุพันธ์เราสามารถวิเคราะห์ความเสถียรประสิทธิภาพและการตอบสนองต่ออินพุตที่แตกต่างกัน

ประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ใช้กันมากที่สุดที่ใช้ในระบบควบคุมคือสมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไป (ODEs) สมการเหล่านี้เกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นของตัวแปรอิสระเดียวโดยทั่วไปเวลา ตัวอย่างเช่นพิจารณาระบบเครื่องจักรกลง่าย ๆ ที่ประกอบด้วยมวลที่ติดอยู่กับสปริงและแดมเปอร์ การเคลื่อนไหวของมวลสามารถอธิบายได้โดย ODE ลำดับที่สองต่อไปนี้:

[m \ frac {d^{2} x} {dt^{2}}+c \ frac {dx} {dt}+kx = f (t)]

โดยที่ (m) คือมวล (c) คือค่าสัมประสิทธิ์การทำให้หมาด ๆ (k) เป็นค่าคงที่สปริง (x) คือการกระจัดของมวลและ (f (t)) คือแรงภายนอกที่ใช้กับมวล

ขั้นตอนในการจำลองระบบควบคุมโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์

ขั้นตอนที่ 1: ระบุส่วนประกอบของระบบ

ขั้นตอนแรกในการสร้างแบบจำลองระบบควบคุมคือการระบุส่วนประกอบทางกายภาพของระบบ ซึ่งรวมถึงเซ็นเซอร์แอคทูเอเตอร์และกระบวนการควบคุม ตัวอย่างเช่นในระบบควบคุมบ้านอัจฉริยะส่วนประกอบอาจรวมถึงสวิตช์สมาร์ทโฮม-เครื่องรับวิทยุภายนอก, และการควบคุมระยะไกล RF มือถือ-

ขั้นตอนที่ 2: กำหนดตัวแปรระบบ

เมื่อมีการระบุส่วนประกอบของระบบแล้วขั้นตอนต่อไปคือการกำหนดตัวแปรระบบที่เกี่ยวข้อง ตัวแปรเหล่านี้สามารถจำแนกได้เป็นตัวแปรอินพุตตัวแปรเอาต์พุตและตัวแปรสถานะ ตัวแปรอินพุตเป็นสัญญาณที่ใช้กับระบบเช่นสัญญาณควบคุมจากรีโมทควบคุม ตัวแปรเอาต์พุตเป็นสัญญาณที่แสดงถึงการตอบสนองของระบบเช่นสถานะของสวิตช์อัจฉริยะ ตัวแปรสถานะเป็นตัวแปรภายในที่อธิบายสถานะของระบบเช่นตำแหน่งขององค์ประกอบเชิงกล

ขั้นตอนที่ 3: ใช้กฎหมายทางกายภาพ

หลังจากกำหนดตัวแปรระบบเราต้องใช้กฎหมายทางกายภาพที่เหมาะสมเพื่ออธิบายพฤติกรรมของแต่ละองค์ประกอบ สำหรับระบบไฟฟ้าเราอาจใช้กฎหมายของ Kirchhoff สำหรับระบบเครื่องกลกฎหมายของนิวตัน; และสำหรับระบบความร้อนกฎของอุณหพลศาสตร์ ตัวอย่างเช่นในวงจรไฟฟ้ากฎหมายแรงดันไฟฟ้าของ Kirchhoff ระบุว่าผลรวมของแรงดันไฟฟ้ารอบวงปิดนั้นเป็นศูนย์

ขั้นตอนที่ 4: เขียนสมการเชิงอนุพันธ์

ตามกฎทางกายภาพและความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรระบบเราสามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายพฤติกรรมของระบบควบคุม สมการเหล่านี้อาจเป็นเส้นตรงหรือไม่เชิงเส้นขึ้นอยู่กับลักษณะของระบบ ในหลายกรณีเราสามารถทำให้สมการไม่เชิงเส้นตรงกับจุดปฏิบัติการเพื่อทำให้การวิเคราะห์ง่ายขึ้น

ขั้นตอนที่ 5: วิเคราะห์แบบจำลอง

เมื่อมีการเขียนสมการเชิงอนุพันธ์เราสามารถวิเคราะห์แบบจำลองเพื่อทำความเข้าใจพฤติกรรมของระบบ ซึ่งรวมถึงการกำหนดเสถียรภาพของระบบค้นหาฟังก์ชั่นการถ่ายโอนและวิเคราะห์การตอบสนองของระบบต่ออินพุตที่แตกต่างกัน มีวิธีการวิเคราะห์และตัวเลขที่หลากหลายสำหรับจุดประสงค์นี้เช่นการแปลง Laplace การวิเคราะห์ความถี่ - โดเมนและการจำลองเชิงตัวเลข

ตัวอย่าง: การสร้างแบบจำลองระบบควบคุมอุณหภูมิ

ลองพิจารณาระบบควบคุมอุณหภูมิที่เรียบง่ายสำหรับห้อง ระบบประกอบด้วยเครื่องทำความร้อนเซ็นเซอร์อุณหภูมิและคอนโทรลเลอร์ เป้าหมายของระบบคือการรักษาอุณหภูมิห้องไว้ที่จุดตั้งที่ต้องการ

ขั้นตอนที่ 1: ระบุส่วนประกอบของระบบ

• เครื่องทำความร้อน: แอคทูเอเตอร์ที่ให้ความร้อนกับห้อง
• เซ็นเซอร์อุณหภูมิ: เซ็นเซอร์ที่วัดอุณหภูมิห้อง
• คอนโทรลเลอร์: อุปกรณ์ที่เปรียบเทียบอุณหภูมิที่วัดได้กับ SetPoint และปรับเอาต์พุตเครื่องทำความร้อนตามลำดับ

ขั้นตอนที่ 2: กำหนดตัวแปรระบบ

• ตัวแปรอินพุต: อุณหภูมิ setpoint (t_ {set})
• ตัวแปรเอาท์พุท: อุณหภูมิห้อง (t (t))
• ตัวแปรสถานะ: พลังงานความร้อนที่เก็บไว้ในห้อง (Q (t))

ขั้นตอนที่ 3: ใช้กฎหมายทางกายภาพ

อัตราการเปลี่ยนแปลงของพลังงานความร้อนในห้องนั้นได้รับจากสมการต่อไปนี้:

[\ fran {dq} {dt} = p - ha (t - t_ {กับ})]

โดยที่ (p) คืออินพุตพลังงานจากเครื่องทำความร้อน (h) คือค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อน (a) เป็นพื้นที่ผิวของห้องและ (t_ {amb}) คืออุณหภูมิแวดล้อม

ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานความร้อนและอุณหภูมินั้นได้รับจาก:

[q = mc_ {p} t]

โดยที่ (m) เป็นมวลของอากาศในห้องและ (c_ {p}) คือความจุความร้อนที่เฉพาะเจาะจงของอากาศ

ขั้นตอนที่ 4: เขียนสมการเชิงอนุพันธ์

ความแตกต่าง (q = mc_ {p} t) เกี่ยวกับเวลาเราได้รับ:

[\ frac {dq} {dt} = mc_ {p} \ frac {dt} {dt}]

การแทนที่ (\ frac {dq} {dt}) ในสมการความร้อน - สมการสมดุลเราได้รับ:

[mc_ {p} \ fraud {dt} {dt} = p - ha (t - t_ {amb})]]]

นี่เป็นสมการเชิงเส้นตรงตามลำดับแรกที่อธิบายพฤติกรรมของระบบควบคุมอุณหภูมิ

ขั้นตอนที่ 5: วิเคราะห์แบบจำลอง

เราสามารถวิเคราะห์แบบจำลองเพื่อกำหนดเสถียรภาพของระบบและการตอบสนองต่ออินพุตที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นเราสามารถค้นหาฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบได้โดยการแปลง Laplace ของสมการเชิงอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนเกี่ยวข้องกับเอาต์พุต (อุณหภูมิห้อง) กับอินพุต (กำลังไฟฮีตเตอร์)

ข้อควรพิจารณาในระบบควบคุมการสร้างแบบจำลอง

• การทำให้ง่ายขึ้นแบบจำลอง: ในหลายกรณีระบบจริงอาจซับซ้อนมากและอาจจำเป็นต้องทำให้แบบจำลองง่ายขึ้นเพื่อให้ง่ายขึ้น สิ่งนี้สามารถเกี่ยวข้องกับการละเลยองค์ประกอบบางอย่างหรือสมมติว่าพฤติกรรมเชิงเส้น
• การประมาณค่าพารามิเตอร์: พารามิเตอร์ในสมการเชิงอนุพันธ์เช่นมวลสัมประสิทธิ์การทำให้หมาด ๆ และค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อนจำเป็นต้องประมาณอย่างแม่นยำ สามารถทำได้ผ่านข้อมูลการทดลองหรือโดยใช้ความรู้ก่อนหน้าของระบบ
• ความไม่เชิงเส้น: ระบบควบคุมโลกของจริงมักจะแสดงพฤติกรรมที่ไม่เชิงเส้น ในขณะที่แบบจำลองเชิงเส้นนั้นง่ายต่อการวิเคราะห์ แต่ก็เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องพิจารณาผลกระทบของความไม่เชิงเส้นต่อประสิทธิภาพของระบบ

บทสรุป

การสร้างแบบจำลองระบบควบคุมโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์เป็นขั้นตอนสำคัญในการออกแบบและวิเคราะห์ระบบควบคุม โดยทำตามขั้นตอนที่ระบุไว้ในบล็อกนี้และพิจารณาด้านการปฏิบัติเราสามารถพัฒนาแบบจำลองที่ถูกต้องซึ่งช่วยให้เราเข้าใจพฤติกรรมของระบบและออกแบบกลยุทธ์การควบคุมที่มีประสิทธิภาพ

หากคุณสนใจซื้อระบบควบคุมหรือมีคำถามใด ๆ เกี่ยวกับการสร้างแบบจำลองและการออกแบบเราพร้อมให้ความช่วยเหลือคุณ ติดต่อเราสำหรับการอภิปรายโดยละเอียดและเพื่อสำรวจโซลูชั่นที่ดีที่สุดสำหรับความต้องการเฉพาะของคุณ

การอ้างอิง

• Ogata, K. (2010) วิศวกรรมการควบคุมที่ทันสมัย Prentice Hall
• Dorf, RC, & Bishop, RH (2017) ระบบควบคุมที่ทันสมัย เพียร์สัน